条件最值例题
已知$a+b=1(a>0,b>0)$，求$\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}$的最小值
解：
$$\begin{eqnarray}
原式&=&\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\right)\\
&=&\dfrac{b}{a}+\dfrac{4a}{b}+5\\
&\geq&9
\end{eqnarray}$$
那么这就是本题的常规解法，下面我来介绍另一种方法：拉格朗日乘子法(Lagrange multiplier)
Lagrange multiplier
基本的拉格朗日乘子法就是求函数$f(x_1,x_2,…)$在约束条件$g(x_1,x_2,…)=0$下的极值的方法。
其主要思想是将约束条件函数与原函数联立，从而求出使原函数取得极值的各个变量的解。
计算过程
方法一
1.假设需要求极值的目标函数(objective function)为$f(x,y)$，限制条件为$\varphi(x,y)=M$
2.设 $g(x,y)=M-\varphi(x,y)$
3.定义一个新函数
$$F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$$
4.用偏导数方法列出方程：
$$\begin{cases}
\dfrac{\partial F}{\partial x}=0\\
\dfrac{\partial F}{\partial y}=0\\
\dfrac{\partial F}{\partial\lambda}=0
\end{cases}$$
5.求出x,y,λ的值，代入即可得到目标函数的极值
方法二
1.设所求最值的二元函数为$f(x,y)$，约束二元方程为$g(x,y)=0$
2.即$f(x,y)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}$，$g(x,y)=x+y-1$
3.则可以求到两个梯度向量
$$\nabla f=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(-\dfrac{1}{x^2},-\dfrac{4}{y^2}\right)$$
与
$$\nabla g=\left(\dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{\partial g}{\partial y}\right)=\left(1,1\right)$$
4.求解方程组
$$\begin{cases}
\nabla f=\lambda\nabla g\\
g(x,y)=0
\end{cases}$$
解得
$$\begin{cases}
x=\dfrac{1}{3}\\
y=\dfrac{2}{3}\\
\end{cases}$$
所以所求最值为9
结论
拉格朗日乘子法不仅可以解决简单的条件最值问题，还可以解决均值不等式、柯西不等式等解决不了的问题，前提$f,g$一阶可微，且$f$最值存在。