题目
某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会. 甲、乙两人参加“射击气球”比赛，他们依次轮流射击气球一次，每人射击$n$次，射击气球只有两种结果：“中”或“不中”. 规则：甲先射击，若“中”得2分，否则1分；乙再射，若“中”，得第一次甲的得分加1，否则得1分；接着甲再射，若“中”，得第一次乙的得分加1，否则得1分；乙再射，若“中”，得第二次甲的得分加1，否则得1分；接着甲再射，若“中”，得第二次乙的得分加1，否则得1分. 按此规则，直至比赛结束. 已知射中概率均为$\dfrac{2}{3}$. 记$X_i$，$Y_i$分别为甲、乙第$i$次射击得分. 记$a_1=EX_1$，$a_2=EY_1$，$a_3=EX_2$，$\cdots$.
证明：$\lbrace a_n-3\rbrace$为等比数列.
题解
全期望公式
$$EX=\sum_i E(X|A_i)\cdot P(A_i)$$
含义是事件空间$X$作为事件空间$A$的后继事件空间，$X$的期望等于每一个$A_i$发生情况下$X$的期望与$P(A_i)$之积的和.
解题过程
证明：令$B$为$A$的后继事件空间，$A$可以为任意$X_i$，$Y_i$，$EB=a_n$，$EA=a_{n-1}$. 根据全期望公式，可得
$$EB=\sum_i E(B|A_i)\cdot P(A_i)$$
展开后
$$
\begin{aligned}
EB&=E(B|A_1)\cdot P(A_1)+E(B|A_2)\cdot P(A_2)\\
&=P(A_1)\cdot [P(B_1)+P(B_2)(A_1+1)]+P(A_2)\cdot [P(B_1)+P(B_2)(A_2+1)]\\
&=P(B_1)+P(B_2)[P(A_1)(A_1+1)+P(A_2)(A_2+1)]
\end{aligned}
$$
即
$$EB=P(B_1)+P(B_2)(EA+1)$$
由上式及题目可得
$$a_n=\frac{2}{3}(a_{n-1}+1)+\frac{1}{3}$$
进行变形可得
$$a_n-3=\frac{2}{3}(a_{n-1}-3)$$
证毕.